Fungsi linier merupakan salah satu fungsi yang paling berguna dalam matematika, dalam artikel ini kita akan melihat apa itu, apa ekspresi matematikanya, karakteristiknya, bagaimana membuat grafiknya di bidang Cartesian.
Apa itu Fungsi Linier?
Fungsi linear adalah ekspresi matematis yang, ketika digambarkan, akan membentuk garis lurus. Fungsi linear adalah fungsi sederhana yang biasanya terdiri dari konstanta dan variabel sederhana tanpa eksponen seperti pada contoh, y = mx + b.
Jenis fungsi ini populer di bidang ekonomi karena kesederhanaan dan kemudahan dalam penanganannya. Fungsi linier secara harfiah adalah rumus untuk garis lurus ketika dipecahkan dan semua variabel diganti dengan konstanta. Persamaan dasar dari fungsi linear adalah y = mx + b di mana:
- “y” adalah variabel dependen; biasanya yang sedang kita pecahkan sehingga terletak di sebelah kiri tanda sama dengan
- “x” adalah independen yang kita manipulasi untuk mendapatkan hasil y yang berbeda
- “m” adalah koefisien variabel independen yang menentukan laju perubahan “y” ·
- “B” adalah istilah konstan atau intersep y
Dalam persamaan linier, jika Anda menambah variabel independen dan titiknya di plot pada grafik, Anda mendapatkan garis lurus.
Ekspresi matematis dari fungsi linier
Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang rumus umumnya adalah:
f(X) = a. X + b
Biasanya dibaca “f dari x”, dengan X sebagai variabel bebas, a dan b bilangan real konstan.
Menganalisis ekspresi kita melihat bahwa dengan memberikan nilai X apa pun, pertama-tama kita kalikan dengan a dan kemudian tambahkan b. Hasil dari semua operasi ini akan menjadi nilai f (X).
Karakteristik fungsi linier
Untuk mempelajari secara mendalam karakteristik fungsi linier kita akan menganalisis domainnya, grafik pada bidang Cartesian, nilai karakteristik dan berbagai jenis garis.
Domain.
Domain adalah rentang nilai yang dapat diambil oleh variabel independen, biasanya disebut X.
Dalam kasus fungsi linier, domainnya adalah himpunan bilangan real, yaitu variabel X dapat mengambil nilai dari kurang tak terhingga ke lebih tak terhingga.
Kemudian, diberikan nilai X yang termasuk dalam himpunan bilangan real, kita akan menemukan nilai yang sesuai f (X) dengan mengalikan X dengan kemiringan dan menambahkan ordinat ke titik asal.
Grafik pada Bidang Cartesian dari Fungsi Linier.
Grafik f (X) pada bidang Cartesian adalah garis lurus. Kita dapat dengan mudah menggambarnya dengan mencari dua titik dari fungsi tersebut dan kemudian, menggunakan penggaris, menggambar garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Anda juga dapat membuat tabel nilai untuk membuat grafiknya, berikut adalah prosedur detailnya.
Salah satu titik ini dapat dengan mudah ditemukan dengan mempertimbangkan X = 0, pada titik itu fungsi bernilai berapa ordinatnya ke titik asal (koefisien b dalam ekspresi umum).
Titik kedua dapat ditemukan dengan memilih nilai yang berbeda untuk X dan melakukan perhitungan, misalnya untuk fungsi pada gambar 1, jika kita mempertimbangkan X = 2, dengan mengganti nilai itu dalam fungsi kita memperoleh hasil f (X) = 2.
Perpotongan.
Ini adalah karakteristik fungsi linier, nilai fungsi ketika X = 0. Secara grafis, ini adalah titik di mana fungsi linier berpotongan dengan sumbu vertikal (dikenal sebagai sumbu ordinat). Titik (0, b) dikenal sebagai ordinat ke titik asal.
Pada grafik gambar 1 terlihat bahwa ordinat ke titik asal adalah titik (0,1).
Absis di asal.
Analog dengan kasus sebelumnya, absis ( jarak tegak lurus suatu titik dari sumbu-y) di titik asal adalah titik di mana fungsi memotong sumbu horizontal atau sumbu absis. Pada titik ini Y = 0.
Fungsi linier mungkin tidak memiliki absis di titik asal jika itu adalah garis yang sejajar dengan sumbu x dan dengan perpindahan vertikal.
Absis di titik asal dapat ditemukan dengan membuat 0 = f (X) dan kemudian mengganti f (X) dengan ekspresi linier, misalnya dalam kasus gambar 1 kita memiliki:
0 = (1/2). X + 1.
Memecahkan X dari persamaan sebelumnya kita memperoleh nilai X di mana f (X) sama dengan 0. Dalam fungsi linier dari gambar 1 absis di titik asal adalah titik (-2,0).
Kemiringan fungsi linier.
Koefisien yang mengalikan X dalam ekspresi umum dari fungsi linier dikenal sebagai “kemiringan” atau gradien dan ini adalah salah satu yang menentukan apakah fungsi tersebut naik atau turun dan berapa besarnya.
Jika kemiringannya positif, fungsinya meningkat dan jika kemiringannya negatif, fungsinya menurun. Jika kemiringannya 0, suku yang mengandung X hilang dan kita hanya memiliki f (X) = b, fungsi linier bernilai berapa ordinatnya ke titik asal di seluruh domain, dalam hal ini kita memiliki garis horizontal (sejajar dengan sumbu X).
Jika kita hanya memiliki grafik fungsi linier, kita dapat menghitung kemiringan sebagai garis singgung sudut yang dibentuk garis dengan sumbu horizontal. Kita juga dapat mencari kemiringan dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
Garis sejajar.
Dua garis dikatakan sejajar jika gradiennya sama.
Contoh dua garis sejajar:
- f(X) = 2. X – 1
- g (X) = 2. X + 3
Garis lurus tegak lurus.
Dua garis tegak lurus jika kemiringan salah satunya sama dengan kemiringan terbalik dan berlawanan dari yang lain. Pada contoh berikut kita melihat dua garis yang saling tegak lurus.
- f(X) = 3. X + 2
- g (X) = – (1/3). X + 5
Kemiringan g negatif sepertiga, yang merupakan kebalikan dan kebalikan dari 3.
Beberapa contoh aplikasi dalam fungsi linier
Fungsi linier adalah salah satu fungsi matematika yang paling berguna dan bidang aplikasinya sangat bervariasi. Kami akan memberikan beberapa contoh penerapan yang mungkin.
Laju Perubahan.
Persamaan linier sering kali menyertakan laju perubahan. Misalnya, laju perubahan jarak terhadap waktu disebut kecepatan. Jika dua titik dalam waktu dan total jarak yang ditempuh diketahui, laju perubahan, juga dikenal sebagai kemiringan, dapat ditentukan. Dari informasi ini, persamaan linier dapat ditulis dan kemudian prediksi dapat dibuat dari persamaan garis.
Jika unit atau besaran yang berkaitan dengan sesuatu yang berubah tidak ditentukan, biasanya lajunya adalah per satuan waktu. Jenis kecepatan yang paling umum adalah “per unit waktu”, seperti kecepatan, detak jantung, dan fluks. Rasio yang memiliki penyebut bukan waktu antara lain nilai tukar, angka melek huruf, dan medan listrik (dalam volt/meter).
Dalam menjelaskan satuan laju, kata “per” digunakan untuk memisahkan satuan dari dua pengukuran yang digunakan untuk menghitung laju (misalnya denyut jantung dinyatakan “denyut per menit”).
Contoh
Seorang atlet memulai latihan normal untuk maraton berikutnya pada malam hari. Pukul 6:00 sore dia mulai berlari dan meninggalkan rumahnya. Pukul 19.30, atlet menyelesaikan larinya di rumah dan telah berlari sejauh 7,5 mil. Seberapa cepat kecepatan rata-ratanya selama lari?
Laju perubahan adalah kecepatan larinya; jarak dari waktu ke waktu. Oleh karena itu, kedua variabel tersebut adalah waktu (x) dan jarak (y). Titik pertama adalah di rumahnya, di mana arlojinya menunjukkan pukul 6:00 sore. Ini adalah waktu awal jadi mari kita atur ke 0. Jadi poin pertama kita adalah (0,0) karena dia belum lari kemana-mana. Mari kita pikirkan waktu kita dalam hitungan jam. Poin kedua adalah 1,5 jam kemudian, dan kami berlari sejauh 7,5 mil. Poin kedua adalah (1.5,7.5). Kecepatan (laju perubahan) hanyalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik. Kemiringan, diberikan oleh: m=y2−y1x2−x1 menjadi m=7.51.5=5
