Sifat determinan matriks

Sifat Determinan: Sejauh ini kita mempelajari apa yang menjadi determinan, bagaimana mereka diwakili dan beberapa penerapannya. Mari kita sekarang melihat Sifat Determinan yang akan membantu kita dalam menyederhanakan evaluasinya dengan memperoleh jumlah nol maksimum dalam satu baris atau kolom. Sifat ini berlaku untuk determinan ordo apa pun. Namun, kita akan membatasi diri kita hanya pada faktor determinan ordo 3.

Sifat 1

Nilai determinan tetap tidak berubah jika baris dan kolom dipertukarkan.

Bukti
kembangkan sepanjang baris pertama, kita dapatkan,

= a1 (b2 c3 – b3 c2) – a2 (b1 c3 – b3 c1) + a3 (b1 c2 – b2 c1)

Dengan menukar baris dan kolom pada Δ, kita mendapatkan determinan barunya

Kembangkan Δ1 di sepanjang kolom pertama, kita dapatkan,

Δ1 = a1 (b2 c3 – c2 b3) – a2 (b1 c3 – b3 c1) + a3 (b1 c2 – b2 c1)

Karena itu Δ = Δ₁

Sifat 2:

Jika ada dua baris (atau kolom) dari faktor determinan yang dipertukarkan, maka tanda determinan berubah.

Bukti:
kembangkan sepanjang baris pertama, kita dapatkan,

Δ = a1 (b2 c3 – b3 c2) – a2 (b1 c3 – b3 c1) + a3 (b1 c2 – b2 c1)

Saling tukar baris pertama dan ketiga, determinan baru diperoleh sebagai

kembangkan sepanjang baris ketiga, kita dapatkan,

Δ1 = a1 (c2 b3 – b2 c3) – a2 (c1 b3 – c3 b1) + a3 (b2 c1 – b1 c2)
= – [a1 (b2 c3 – b3 c2) – a2 (b1 c3 – b3 c1) + a3 (b1 c2 – b2 c1)]

Jelas Δ₁ = – Δ

Demikian pula, kita dapat memverifikasi hasilnya dengan menukar dua kolom mana saja.

Sifat 3:

Jika ada dua baris (atau kolom) dari sebuah determinan adalah identik (semua elemen terkait adalah sama), maka nilai determinan adalah nol.

Bukti: Jika kita menukar baris identik (atau kolom) dari determinan Δ, maka Δ tidak berubah. Namun, oleh Sifat 2, berarti Δ telah mengubah tandanya, oleh karena itu Δ = - Δ atau Δ = 0. Jadi mari kita buktikan sifat di atas dengan sebuah contoh.

Contoh:

Penyelsaian: Kembangkan sepanjang baris pertama, kita dapatkan,

Δ = 3 (6 – 6) – 2 (6 – 9) + 3 (4 – 6)
= 0 – 2 (–3) + 3 (–2) = 6 – 6 = 0

Di sini baris R1 dan R3 keduanya identik.

Sifat 4:

Jika setiap elemen dari suatu baris (atau kolom) dari determinan dikalikan dengan konstanta k, maka nilainya dikalikan dengan k.

Bukti:

dan Δ1 menjadi determinan yang diperoleh dengan mengalikan elemen dari baris pertama dengan k. Kemudian,

Jadi sekarang kembangkan di baris pertama, kita dapatkan

Δ1 = k a1 (b2 c3 – b3 c2) – k b1 (a2 c3 – c2 a3) + k c1 (a2 b3 – b2 a3)
= k [a1 (b2 c3 – b3 c2) – b1 (a2 c3 – c2 a3) + c1 (a2 b3 – b2 a3)]
= k Δ

Sehingga

Sifat 5:

Jika beberapa atau semua elemen dari suatu baris atau kolom dari determinan dinyatakan sebagai jumlah dari dua (atau lebih) konstanta, maka determinan dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua (atau lebih) determinan. Sebagai contoh,

Bukti

Jadi sekarang kembangkan determinan di sepanjang baris pertama, kita dapatkan,

Δ = (a₁ + λ₁) (b₂ c₃ – c₂ b₃) – (a₂ + λ₂) (b₁ c₃ – b₃ c₁) + (a₃ + λ₃) (b₁ c₂ – b₂ c₁)
= a₁ (b₂ c₃ – c₂ b₃) – a₂ (b₁ c₃ – b₃ c₁) + a₃ (b₁ c₂ – b₂ c₁) + λ₁ (b₂ c₃ – c₂ b₃) – λ₂ (b₁c₃ – b₃ c₁) + λ₃ (b₁ c₂ – b₂ c₁)

Sifat 6:

Jika equimultiples elemen yang sesuai dari baris lain (atau kolom) ditambahkan ke setiap elemen dari setiap baris atau kolom dari determinan, maka nilai determinan tetap sama, yaitu, nilai determinan tetap sama jika kita menerapkan operasi R_i → R_i + k R_j or C_i → C_i + k C_j.

Bukti

di mana Δ1 secara konsekuen diperoleh dengan operasi R1 → R1 + kR3. Di sini, kita telah mengalikan elemen dari baris ketiga (R3) dengan konstanta k dan menambahkannya ke elemen yang sesuai dari baris pertama (R1). Secara simbolis, kita menulis operasi ini sebagai R1 → R1 + k R3. Sekarang lagi

Gunakan sifat 5

= Δ + 0 (karena R1 dan R3 proporsional)

Didapat Δ = Δ₁