Dalam himpunan bilangan real, ada bilangan rasional dan irasional. Yang terakhir tidak dapat dinyatakan sebagai fraksi atau pecahan dan dapat terdiri dari dua jenis, aljabar atau transendental. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat diekspresikan dalam fraksi karena mengandung elemen desimal tak tentu dan digunakan dalam operasi matematika yang kompleks seperti persamaan aljabar dan rumus fisik.
Pengertian
Bilangan irasional adalah bagian dari himpunan bilangan real yang tidak rasional, yaitu tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan. Himpunan angka ini terdiri dari semua angka desimal yang bagian desimalnya memiliki angka tak hingga. Mereka diwakili oleh huruf I atau oleh representasi R-Q (Ini adalah pengurangan dari bilangan real dikurangi bilangan rasional). Mereka bisa aljabar atau transenden.
Komponen
Himpunan bilangan irasional terdiri dari bilangan aljabar dan bilangan transenden.
Untuk apa mereka
Bilangan irasional digunakan untuk melakukan operasi dalam sains faktual seperti fisika, kimia, matematika, dan lainnya.
Karakteristik
Karakteristik bilangan irasional yang paling representatif dapat kita kutip sebagai berikut:
- Mereka adalah bagian dari himpunan bilangan real.
- Mereka bisa aljabar atau transenden.
- Bilangan irasional tidak dapat diekspresikan sebagai pecahan.
- Mereka diwakili oleh huruf I.
- Mereka memiliki angka desimal tak terbatas.
- Ini memiliki sifat komutatif dan asosiatif.
- Mereka tidak dapat direpresentasikan sebagai pembagian dari dua bilangan bulat.
Sejarah
Matematikawan yang pertama kali mengidentifikasi serangkaian angka ini dianggap sebagai murid Pythagoras bernama Hypasus. Karakter ini berusaha menggambarkan akar angka 2 sebagai pecahan yang menunjukkan bahwa ada bilangan yang tidak rasional karena tidak dapat diekspresikan dengan pecahan.
Dikatakan bahwa penemuan ini tidak diterima dengan baik oleh Pythagoras, yang mengklaim bahwa semua angka memiliki nilai sempurna. Karena Pythagoras tidak dapat menyangkal penemuan Hipaso, mereka melemparkan Hipaso ke sisi kapal dan dia tenggelam.
Ada juga versi lain dari sejarah bilangan irasional yang berasal dari Yunani Kuno. Ini menyatakan bahwa dalam praktik mengukur panjang segmen garis yang hanya dapat difraksinasi, orang-orang Yunani mengidentifikasi angka yang tidak dapat difraksinasi. Penemuan ini dikaitkan dengan Pythagoras, ketika menentukan keberadaan segmen garis yang tidak dapat dibandingkan dalam kaitannya dengan segmen yang diambil sebagai unit dalam sistem pengukuran.
Bagaimana mereka diwakili
Bilangan irasional diwakili oleh huruf besar I karena huruf kecil i mewakili angka imajiner. Mereka juga biasanya direpresentasikan sebagai R-Q (ini berarti Bilangan Riil – Angka Rasional). Namun, penting untuk menyebutkan bahwa ada bilangan irasional yang memiliki simbol sendiri. Ini adalah kasus angka Pi.
Klasifikasi bilangan irasional
Bilangan irasional diklasifikasikan menjadi bilangan aljabar dan bilangan transendental.
Angka aljabar adalah angka yang berasal dari penyelesaian beberapa persamaan aljabar dan merupakan jumlah radikal bebas atau bersarang. Contoh: akar tidak tepat.
Bilangan transenden adalah bilangan yang berasal dari fungsi trigonometri, logaritmik, dan eksponensial transendental. Angka-angka ini bukan angka bersarang terbatas atau angka radikal bebas. Contoh: angka Pi = 3.141592653589…; Bilangan Euler = 2.718281828459…
Operasi
Penambahan, pengurangan, perkalian, dan operasi pembagian tidak didefinisikan dengan baik karena ketika diterapkan pada bilangan irasional mereka tidak cenderung menghasilkan bilangan irasional. Memperhatikan hal ini, pengamatan berikut ini penting:
- Jika bilangan rasional ditambahkan dengan bilangan irasional, hasilnya akan selalu irasional.
- Jika bilangan rasional (selain nol) dikalikan dengan bilangan irasional, produk akan menjadi irasional.
- Ini memiliki sifat komutatif dan asosiatif.
- Perkalian bersifat distributif dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan dan pengurangan.
- Ini memiliki elemen yang berlawanan atau negatif yang membatalkannya.
Sifat
Bilangan irasional memiliki sifat-sifat berikut:
- Komutatif: angka irasional dapat ditambahkan atau dikalikan.
- Asosiatif: mereka dapat dikelompokkan.
- Tertutup: Setiap angka irasional yang ditambahkan, dikurangi, dikalikan, atau dibagi tidak akan selalu menghasilkan angka irasional. Ini tidak benar dalam hal pengarsipan.
Contoh bilangan irasional
Sebagai contoh bilangan irasional kita dapat menyebutkan hal berikut:
Contoh bilangan irasional aljabar:
- √7
- 0.1961325454898161376813268743781937693498749…
Contoh bilangan irasional transendental:
- Pi = 3.141592653589…
- Rasio emas = 1,618033988749…
- Bilangan Euler = 2.718281828459…